相同损失，不同梯度

研究表明，当概率目标依赖特殊函数递推与数值截断时，模型在同一学习状态下可能产生相同的损失却输出不同梯度，从而破坏前后向一致性并导致优化轨迹分歧。针对高维 von Mises-Fisher 学习中的梯度不匹配问题，研究者提出了固定深度的解析实现方法 AR/FR，联合构建势函数及其导数。该方法在非负浓度轴上对精确 Bessel 比值提供了一致的三阶误差界，保证了计算深度固定且保真度可验证。